단위행렬 - 고등학교 공통수학 1

[고등수학] 단위행렬 완전정복 – 친절샘과 함께 행렬의 주인공을 만나보자!

안녕하세요!
여러분의 수학을 쉽고 친절하게 안내해드리는 친절샘입니다 😊
오늘은 행렬 연산에서 빠질 수 없는 아주 특별한 존재,
바로 **단위행렬(Identity Matrix)**에 대해 알아보려고 해요!

단위행렬은 이름부터 뭔가 ‘중심’ 같은 느낌이 들죠?
맞아요. 실제로 행렬의 곱셈에서 항등원 역할을 하며,
시험에서도 꼭 한 문제는 출제되는 아주 중요한 개념이랍니다.

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✅ 단위행렬이란?

단위행렬이란, 정사각행렬 중에서 주대각선에만 1이 있고,
나머지 성분은 모두 0인 행렬을 말해요.

예를 들어,

 

이처럼 단위행렬은 행과 열의 수가 같아야만 존재하며,
항상 정사각형 형태입니다!

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✅ 단위행렬의 역할은?

단위행렬은 행렬 곱셈에서 항등원 역할을 합니다.

즉,

이 성질은 마치 수에서 5×1=5처럼,
행렬에서도 곱셈에 영향이 없는 존재가 바로 단위행렬이란 뜻이에요!

단, 여기서 주의할 점!

• AI와 IA 모두 정의되려면, 단위행렬의 크기가 적절해야 해요.
  예를 들어, A가 2×3 행렬이라면:

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✅ 단위행렬의 특징 정리

• 정사각행렬이다.
• 주대각선 성분은 모두 1, 나머지는 0
• 곱셈의 항등원 역할: AI=IA=A
• I^n=I (거듭제곱해도 그대로)
• 역행렬이 존재하는 행렬 A는 
•  

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✅ 단위행렬 예제 

문제
다음 행렬 A에 대해 AI와 IA를 구하시오.
단,

풀이
곱셈 가능: A와 I 모두 2×2

✅ 정답: 둘 다 A와 같다.

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✅ 시험에 자주 나오는 포인트

• 단위행렬을 곱했을 때 행렬이 그대로 나오는지 묻는 문제
• 곱셈이 정의되기 위한 단위행렬의 크기 묻기
• 단위행렬인지 아닌지 판단하기
• 역행렬 단원에서 

• 

• 형태로 등장

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✅ 친절샘의 마무리 요약 😊

✔ 단위행렬은 행렬 곱셈에서의 항등원
✔ 정사각행렬이며, 주대각선은 1, 나머지는 0
✔ AI=IA=AAI = IA = AAI=IA=A 반드시 기억하기
✔ 시험에서는 단위행렬의 역할, 정의, 곱의 결과, 크기 조건이 자주 등장해요

행렬을 배울 때 단위행렬은 단순한 시작점 같지만,
나중에 배우게 될 역행렬, 연립방정식, 선형대수의 핵심이 되기도 한답니다.

오늘도 수학 자신감을 키워주는
친절샘이었습니다 😊