[고등수학] 행렬의 곱셈 성질 완전정복 – 친절샘이 알려주는 행렬 곱셈의 세계!
안녕하세요! 여러분의 수학 선생님 친절샘입니다 😊
오늘은 행렬의 곱셈에 대한 성질에 대해 함께 공부해볼 거예요.
앞 시간에 우리는 행렬 곱셈의 정의와 계산 방법을 배웠죠?
그런데 단순히 계산만 할 줄 아는 것으론 부족해요.
곱셈이 수의 곱셈처럼 작동하지 않는 행렬의 세계에서, 성질을 알고 활용하는 것이 정말 중요합니다!
시험에서도 자주 출제되는 핵심 포인트니까,
오늘 이 글로 확실히 정리해보세요!
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✅ 복습! 행렬의 곱셈 정의 간단 정리
두 행렬 AA, BB의 곱 ABAB가 정의되기 위한 조건은?
- AA의 열의 수 = BB의 행의 수
그리고 결과 행렬의 크기는?
- ABAB의 크기 = AA의 행 수 × BB의 열 수
곱셈은 각 행과 열을 곱하고 더하는 방식(내적)으로 계산되죠.
✅ 행렬 곱셈의 기본 성질
① 결합법칙 (Associative Law)
- 곱셈의 순서를 바꿀 수는 없지만, 괄호의 위치는 바꿀 수 있어요.
- 단, 연속된 곱이 모두 정의되어야 합니다!
② 분배법칙 (Distributive Law)
- 곱셈은 덧셈에 대해 분배됩니다.
- 단, 모든 곱셈과 덧셈이 정의되어야 해요.
③ 항등원 존재 (Identity Element)
모든 행렬 AA에 대해,
행렬 II (단위행렬)를 곱하면 다음이 성립해요.
단, 곱셈이 정의될 수 있는 크기의 단위행렬을 사용해야 합니다!
④ 교환법칙 ❌ (Commutative Law does not hold)
- 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아요!
- AB는 정의되지만, BA는 정의되지 않거나 결과가 다를 수 있어요.
✅ 예제 1: 결합법칙 확인
(AB)C와 A(BC)를 각각 계산해 비교해보세요.
계산은 생략하지만, 결과는 동일합니다.
✅ 결론: 결합법칙 성립
✅ 예제 2: 교환법칙 실패
✅ 결과 다름 → 교환법칙 성립 ❌
✅ 예제 3: 항등원 확인
항상 성립하므로 시험에서도 자주 나오는 개념이에요.
✅ 시험 꿀팁 요약
- 결합법칙 O, 분배법칙 O, 항등원 O
- 교환법칙 X 꼭 기억하세요!
- 곱셈이 가능한 크기인지 항상 먼저 확인
- ABAB와 BABA를 각각 계산하는 문제 자주 출제
- 형태로 거듭제곱 성질 응용 문제도 많음
✅ 친절샘의 마무리 정리 😊
✔ 행렬 곱셈은 일반 곱셈처럼 보이지만 성질은 완전히 다릅니다!
✔ 가장 중요한 건 순서를 바꾸면 안 된다는 점
✔ 결합법칙, 분배법칙, 항등원은 OK
✔ 교환법칙은 NO, 절대 안 됩니다
시험에서 교환법칙을 묻는 함정 문제가 자주 나오니,
문제 속의 조건과 연산 순서를 꼭 확인하세요.
오늘도 여러분의 수학 자신감을 키우는
친절샘이었습니다 😊
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