구의 겉넓이와 부피 - 중학교 1학년 수학 (입체도형)

1️⃣ 둥글둥글 구 왕국에 가다! 🌍

찬우는 어느 날 둥글둥글한 나라에 도착했습니다.
주위를 둘러보니 모든 것이 둥글둥글해요!
축구공, 농구공, 지구본까지!
“여긴 뭐든지 동글동글하네?!”
그때, 구 왕국의 왕이 나타나 말했습니다.
"찬우야, 여기는 구의 나라! 우리 왕국의 비밀, 겉넓이와 부피를 밝혀보겠느냐?"
찬우가 씩씩하게 대답합니다.
"그럼요! 공은 제가 아주 잘 굴려보거든요!" 😆

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2️⃣ 구가 뭐야? 🤔

찬우는 공을 굴리며 생각합니다.
“구가 뭐였더라?”

✅ 구의 정의

✔️ 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들이 모여 만들어진 입체도형!
✔️ 중심에서 모든 방향으로 똑같이 퍼져있는 완벽한 대칭!
찬우가 말합니다.
"한마디로, 공! 축구공, 농구공, 지구본이 전부 구네!" ⚽🏀🌍
구는 어떤 방향에서 보아도 똑같은 모양이어서 360도 완벽한 대칭성을 가졌어요!

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3️⃣ 구의 겉넓이란? 📏

찬우가 구를 손으로 만지작거리며 묻습니다.
“이 둥근 겉면을 다 펴보면 얼마나 될까?”

✅ 겉넓이란?

✔️ 도형의 겉면 전체 넓이!
✔️ 구는 펼 수 없지만, 수학의 힘으로 그 넓이를 계산할 수 있어요!
찬우가 말합니다.
“이걸 포장하려면 포장지 넓이를 알아야겠군!”

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✅ 구의 겉넓이 공식

✔️ 겉넓이 = 4πr²
👉 r은 구의 반지름!
✔️ 왜 4배일까?
👉 구는 반지름 r을 기준으로 퍼져나간 원이 4개 붙어있는 것처럼 넓이가 커져요!

🔎 예시: 반지름이 5cm인 구

• 겉넓이 = 4 × 3.14 × 5² = 4 × 3.14 × 25 = 314cm²
  찬우가 감탄합니다.
  “생각보다 넓은데?! 구가 포장지 많이 먹겠네!” 🎁

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4️⃣ 구의 부피란? 🧮

“이제 이 공 안에 물을 채운다면 얼마나 들어갈까?”
찬우가 왕에게 물었습니다.

✅ 부피란?

✔️ 도형 속 공간의 크기!
✔️ 구는 속이 꽉 찬 공이라고 생각하면 돼요!
찬우가 말합니다.
“축구공이 비었지만 만약 꽉 채운다면 얼마나 차는지 알아보자!”

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✅ 구의 부피 공식

✔️ 부피 = (4/3)πr³
✔️ 왜 4/3일까?
👉 구는 완벽한 대칭성을 가진 도형이라서, 수학적으로 이런 비율이 나와요!
찬우가 고개를 끄덕입니다.
“복잡해 보이지만 r을 세 번 곱하고, 나중에 4/3만 곱하면 되네!”

🔎 예시: 반지름이 5cm인 구

• 부피 = (4/3) × 3.14 × 5³ = (4/3) × 3.14 × 125 = 523.33cm³
  찬우가 외칩니다.
  "우와! 물 523.33ml가 들어가겠네!" 🧃

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5️⃣ 구의 겉넓이와 부피를 쉽게 기억하는 법! 📝

찬우가 왕과 함께 노래를 만들어 외칩니다.
🎵 “겉넓이는 사(4)파이알제곱(πr²)!
부피는 사삼(4/3)파이알세제곱(πr³)!” 🎵
“노래로 외우니까 너무 쉽다!” 🎤

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6️⃣ 구는 왜 특별할까? 🌟

구 왕이 설명합니다.
✔️ 가장 작은 겉넓이로 가장 큰 부피를 가질 수 있는 도형!
✔️ 그래서 비누방울, 물방울도 전부 구처럼 생겼어요!
찬우가 감탄합니다.
“구는 자연이 사랑하는 도형이네!” 🫧

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7️⃣ 실생활에서 만나는 구! 🔎

찬우가 주변을 살펴봅니다.
✔️ 축구공, 농구공, 야구공
✔️ 지구본, 행성
✔️ 비누방울, 물방울
찬우가 외칩니다.
“구는 우리 생활 속 어디든 있었네!” 🌎⚽🫧

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8️⃣ 찬우 탐정단! 구의 겉넓이와 부피 퀴즈 풀기! 🕵️‍♂️

🙋‍♂️ 도전! 아래 문제를 풀어보세요!

✅ 문제 1
반지름 3cm인 구의 겉넓이는?
👉 정답: 4 × 3.14 × 3² = 113.04cm²

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✅ 문제 2
반지름 6cm인 구의 부피는?
👉 정답: (4/3) × 3.14 × 6³ = 904.32cm³

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✅ 문제 3
구의 겉넓이 공식을 말해보세요!
👉 정답: 4πr²

찬우가 외칩니다!
"이제 구 왕국의 모든 비밀을 다 알았다!" 🏅

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🔟 오늘의 정리! 🎯

✔️ 구의 겉넓이 = 4πr²
✔️ 구의 부피 = (4/3)πr³
✔️ 구는 완벽한 대칭성과 효율적인 공간 활용의 대표 도형!