4. 실수(real number)

셈을 해보자. 하나 두울 세엣.... 딱히 셀 수 없는 것도 세는 방법이 있다. 많다, 적다. 등

우리가 세어보고자 하는 모든 것을 실수라는 바구니에 담는다. 바구니를 안을 보니, 유리수와 무리수가 채워져 있다.

유리수는 어느 정도 예측 가능한 법칙이 있는 수다. 분모와 분자로 표기된다. 끝이 있거나. 끝이 없어도 반복되는 꼴이다. 질서있고 정갈하다.

​무리수는 예측하기 어려운 수다. 끝이 무한하다. 변화도 무쌍하다. 아직 질서와 법칙이 밣혀지지 않은 수 들이다.

​유리수와 무리수를 우리가 사는 공간 속에 꺼내 놓아보자.

유리수란 공간은 제법 질서가 잡혀있다. 그곳에 가지런히 놓인 작은 공간에다 정수라고 이름 붙여 보자. 정수라는 공간은 서로 맞닿아 있다. 1, 2, 3, 4 .... 경계가 명확하다. 따라서 관계도 이어져 있다. 어릴 때 처음 배운 산수는 이런 가지런한 공간을 다루는 연습이었다. 정수와 정수 사이에 최소 경계는 1이다. 하지만 0과 1사이에도 무수한 수가 있다. 이 경계를 넘나드는 수 중에 그나마 끝이 보이는 공간은 유한소수, 끝이 보이지 않지만 규칙적으로 경계를 오가는 수를 무한 소수라고 부른다. 따라서. 유리수의 공간은 끝이 있거나 없어도 제법 가지런한 질서가 있다.

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무리수는 끝이 보이지 않는 공간이면서도 질서를 알기 힘들다. 수학어로 비순환 무한소수라고 부른다.

이 공간의 꼴은 삐툴삐툴, 들쭉날쭉하다. 어디까지 이 길이 이어져 있는지 알기도 어렵다. 예측할 수 없다. 사람의 마음같이 굳건한 듯 보이다가 이내 딴 맘을 품고 이리로 갈까 저리로 갈까 헤매는 듯 보인다. 언뜻 무질서한 듯 보이지만 함께 모이니 완벽하다. 무리수 중 우리가 평면에서 보는 가장 완전한 형태가 있다. 바로, 동그라미, 원이다.

하루, 수학(마음이 읽어주는) | 이정훈 - 교보문고

 

하루, 수학(마음이 읽어주는) | 이정훈 - 교보문고

 

 

 

하루, 수학(마음이 읽어주는) | 이정훈 - 교보문고

 

하루, 수학(마음이 읽어주는) | 이정훈 - 교보문고

 

원주율

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파이는 반지름이 정수의 기본 단위 1인 원의 면적이다. 무리수의 대표 격인 이 원주율을 구하기 위해 컴퓨터가 만들어지기 전 평생을 이 원주율의 끝을 보고자 노력한 수학자도 있었다. 무질서가 질서가 되는 신비한 세상이다.

 

인간은 패턴 사고를 한다. 원시 시대부터 피아를 분별하기 위해 시각을 많이 활용했다. 사람에게 눈은

요즘 말로 두뇌 속 뉴런에 입력을 담당하는 기관이다. 패턴을 통해 얼굴을 분별하고 위험한 짐승과 험한 날씨의 징조를 예측한다. 다른 종보다 특별히 낳은 신체적 조건이 없지만 패턴을 파악하는 능력이 있어 만물의 영장으로 진화했다. 인간은 어떻게 세상을 바라보는가에 대한 질문에 실수의 체계는 좋은 답변이 될 수 있다.

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우리는 셀 수 있는 것들에 대해, 가지런한지 아닌지를 보고, 가지런하다면 그것이 한정적인지 열려있는지를 본다. 가지런하지 않는 것 들은 열려있다고 보지만 그것의 꼴을 들여다보고 그 속에도 가지런한 무언가를 찾고 또 분류해 본다. 공간의 관계를 잇고 끊고 닫고 열면서 경계를 넘나든다. 서로 반대가 되는 게 아니라 서로 지탱하는 무언가를 찾아보고자 한다. 혼돈에서 질서로 가지만 질서가 다하면 다시 혼돈으로 떠난다. 삶과 죽음의 순환이 수에서 이뤄진다면 무한소수 - 순환소수 - 유한소수 - 정수 - 유한소수- 순환소수 - 무한 소수의 여행이라고 볼 수 있다.

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셀 수 없는 세포가 끊임없는 진동을 통해 계속 분열한다. 무한소수이자 순환소수다.

태반에 자리 잡은 태아는 점점 커나가고 열 달을 지나 탄생을 한다. 유한소수이며 정수다.

아기는 성장하고 어른이 된다. 그리고 노화를 맞게 되고 계속 띌 것 같았던 심장의 횟수가 다한다. 정수이자 유한소수다.

몸 안의 세포는 바이러스를 통해서 끊임없이 분열되고 결국 흙으로 돌아가 셀 수 없는 무언가가 된다. 순환소수이자 무한소수다.

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지금 정수에서 무한소수로 간들 덧없다고 생각하지 말자. 질서가 무질서로 가는 것이 우리의 숙명이니까. 그리고 순환할 것이 분명하니까.

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잠시 다른 이야기 하나를 해보자

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유클리드 기하학의 공리는 점과 점 사이에 직선은 오직 하나라는 것이다. 이를 확대해 보자. 선과 선 사이에 맞닿은 점은 몇 개 일까? 하나다. 면과 면사 이에 맞닿은 선은 몇 개일 까? 역시 하나다. 공간과 공간 사이 맞닿은 면은 몇 개일까? 역시 하나다. 유클리드 기학학의 공리가 뿌리가 되어 계속 뻗어나가는 꼴이다.

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피타고라스정리 a^2 + b^2 = c^2 ​

제곱근은 평면에 대한 이야기다. 평면은 최소 3개의 점과 2개의 선으로 이어져 있다. 계산하기 편하게 정사각형의 평면으로 가보자. 4개의 점과 4개의 선으로 이루어졌다. 공간을 이루는 서로 다르지만 길이는 같은 두 선이 있는데 그 선이 계속 맞닿아 면이 만들어졌다. 그 하나의 점부터 다음 점까지 이어진 선의 길이를 제곱근이라고 말해보자. 따라서 앞서 말한 공리에 따라 선과 선을 이어 만든 평면은 단 하나의 제곱근만을 가지게 된다. 그리고 그 길이에 그 길이만큼 놓인 점들을 다 더한 것이 평면의 면적이 된다. 평면은 닫힌 공간이다. 하지만 그 닫힌 공간을 이루는 제곱근을 보자. 유리수일 수도 무리수 일 수도 있다. 그리고 그런 셀 수 없이 끝없는 공간을 더해보니 질서 있는 하나의 공간을 이루고 있다. 무한한 것이 유한해지고 유한한 것을 나누면 무한해지는 제법 난해한 세상이다. 수학은 이런 세상의 마법을 조금은 엄격한 수의 경계로 해석하고 있다. 풀이는 겸손하지만 때론 해답은 단호하다. 자연은 이러한 수학에 호락호락하지 않다. 하지만 조금씩 숨겨진 진리를 내보여 준다. 용기에 대한 배려라고나 할까? 용기있는 자가 수학을 얻으리라.