절댓값 기호를 포함한 식의 그래프 - 고등학교 공통수학 2

절댓값 기호를 포함한 식의 그래프, 확실히 이해하기!

고등학교 수학은 친절함에서 시작합니다 😊
작성자: 친절샘

안녕하세요!
수학을 쉽게, 친절하게 설명해주는 여러분의 수학 친구, 친절샘입니다.

오늘은 많은 학생들이 처음 보면 "어려울 것 같다"고 느끼는
절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프에 대해 알려드릴게요!

하지만 걱정 마세요.
절댓값의 원리를 잘 알고 있으면, 그래프도 아주 쉽게 그릴 수 있어요.

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✅ 절댓값이란?

절댓값은 숫자의 부호를 무시하고 크기만 보는 개념이에요.

예를 들어,

 

|3| = 3 |-3| = 3 |0| = 0

절댓값 기호는 항상 양수 또는 0의 결과만 내놓습니다.

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✅ 절댓값 함수의 기본 그래프: y = |x|

가장 기본적인 절댓값 함수는 다음과 같습니다.

 

y = |x|

이 함수는 x가 양수일 땐 그냥 x와 같고,
x가 음수일 땐 부호가 바뀌어 -x가 돼요.

함수 정의로 표현하면 다음과 같아요.

 

y = |x| = x (x ≥ 0) -x (x < 0)

즉, x가 0 이상이면 그대로,
0보다 작으면 부호를 바꿔서 사용하면 됩니다.

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✅ 그래프 그리는 팁

y = |x|의 그래프는 V자 모양이에요.

• x ≥ 0일 때: 직선 y = x
• x < 0일 때: 직선 y = -x
• 교점은 (0, 0)

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✅ 예제 1

문제
y = |x - 2|의 그래프를 설명하시오.

풀이
기본 그래프 y = |x|를 오른쪽으로 2만큼 이동한 그래프예요.

절댓값 안의 x가 (x - 2)이므로,
x = 2를 기준으로 대칭인 V자 모양이 됩니다.

• x ≥ 2일 때: y = x - 2
• x < 2일 때: y = -(x - 2) = -x + 2

그래프의 꼭짓점은 (2, 0)

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✅ 예제 2

문제
y = |x + 3| + 1의 그래프를 설명하시오.

풀이
y = |x|의 그래프를 왼쪽으로 3, 위로 1만큼 이동한 그래프입니다.

• x ≥ -3일 때: y = x + 3 + 1 = x + 4
• x < -3일 때: y = -(x + 3) + 1 = -x - 3 + 1 = -x - 2

꼭짓점은 (-3, 1)

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✅ 절댓값이 함수 전체에 있는 경우: y = |f(x)|

이 경우는 출력값 전체의 절댓값을 의미합니다.
즉, 그래프 위의 점 중 y < 0인 부분을 x축 대칭으로 뒤집는다는 뜻이에요.

예제 3
y = |x - 1| - 2

• 절댓값 그래프 y = |x - 1|은 x = 1을 꼭짓점으로 하는 V자
• 거기서 전체 그래프를 아래로 2만큼 내려요 → 꼭짓점은 (1, -2)

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예제 4
y = |x² - 4|

이건 x² - 4라는 이차함수의 절댓값을 씌운 거예요.

• y = x² - 4는 아래로 열린 포물선, 꼭짓점 (0, -4)
• y = |x² - 4|는 y < 0인 부분을 x축 대칭 이동!

결과적으로, y축 대칭은 그대로지만,
음수였던 부분이 위로 올라가 양수로 바뀝니다.

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✅ 절댓값 그래프 해석 요령

절댓값이 x 안에 있는지, 함수 전체에 씌워져 있는지 구별이 중요합니다.

1. 절댓값이 x 안에 있는 경우 (예: y = |x - a|)
   → x축 기준으로 좌우 이동, 대칭 구조
2. 절댓값이 함수 전체에 있는 경우 (예: y = |f(x)|)
   → y < 0인 부분을 x축 기준으로 위로 접어올림

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📝 연습문제

1. y = |x + 1| 그래프의 꼭짓점 좌표는?
2. y = |x - 2| - 3의 그래프는 어떤 방향으로 이동되었는가?
3. y = |x² - 1|의 그래프를 설명하시오.
4. y = |2x + 4| 그래프의 꼭짓점 좌표와 형태를 말하시오.

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✅ 친절샘의 마무리 정리!

• 절댓값 안에 x가 있을 땐 → x축 방향 이동
• 함수 전체에 절댓값이 있으면 → 음수 부분을 접어올림
• 그래프의 꼭짓점은 절댓값 식을 0으로 만드는 x값을 기준으로 계산
• 좌우 대칭과 위아래 이동을 정확히 파악하면 어렵지 않아요!