점과 도형의 대칭이동 – x축, y축, 원점 - 고등학교 공통수학 2

점과 도형의 대칭이동 – x축, y축, 원점

✨ 대칭이동이란?

우리 주변에도 대칭은 아주 많아요.
거울 속 나의 모습, 나비의 양 날개, 하트 모양…
모두 대칭이라는 수학 개념으로 설명할 수 있어요.

수학에서 말하는 **대칭이동(symmetry)**은
도형이나 점을 기준축에 대해 거울처럼 뒤집는 이동을 말합니다.

오늘은 x축, y축, 그리고 원점을 기준으로
어떻게 점과 도형이 대칭이동 되는지 친절하게 알려드릴게요!

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✅ 점의 대칭이동 공식

1️⃣ x축에 대한 대칭

• 원래 점: (x, y)
• 대칭된 점: (x, -y)

x좌표는 그대로, y좌표는 부호가 바뀝니다.

2️⃣ y축에 대한 대칭

• 원래 점: (x, y)
• 대칭된 점: (-x, y)

y좌표는 그대로, x좌표는 부호가 바뀝니다.

3️⃣ 원점에 대한 대칭

• 원래 점: (x, y)
• 대칭된 점: (-x, -y)

x와 y 모두 부호가 바뀝니다.

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🧪 예제: 점의 대칭이동

예제 1

점 A(2, -3)에 대해 대칭이동 결과는?

• x축 대칭: (2, 3)
• y축 대칭: (-2, -3)
• 원점 대칭: (-2, 3)

✔ 조심! x축과 y축, 헷갈리지 않도록 공식 암기보다 이해가 먼저예요!

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📐 도형의 대칭이동

도형은 여러 점들로 이루어져 있어요.
따라서 도형 전체를 대칭이동하려면,
도형을 이루는 모든 점을 동일한 방법으로 대칭이동하면 됩니다.

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✅ 직선의 대칭이동

직선의 방정식이 주어졌을 때, 대칭이동은
x나 y에 해당하는 값을 변형하여 새로운 방정식을 얻습니다.

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🔹 x축에 대한 대칭

y → -y 대입 후 정리

예:

y = 2x + 1

 

→ -y = 2x + 1 → y = -2x - 1

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🔹 y축에 대한 대칭

x → -x 대입 후 정리

예:

y = 2x + 1

 

→ y = 2(-x) + 1 → y = -2x + 1

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🔹 원점에 대한 대칭

x → -x, y → -y 모두 대입 후 정리

예:

y = 2x + 1

 

→ -y = 2(-x) + 1

 

→ -y = -2x + 1

 

→ y = 2x - 1

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✅ 원의 대칭이동

원의 중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식:

복사편집

(x - a)² + (y - b)² = r²

이 원을 대칭이동하면 중심 좌표만 바꿔주면 됩니다.

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✏️ 예제 2

원의 방정식: (x - 2)² + (y + 3)² = 25

• 중심: (2, -3), 반지름: 5

→ x축 대칭 → 중심: (2, 3)
→ 식: (x - 2)² + (y - 3)² = 25

→ y축 대칭 → 중심: (-2, -3)
→ 식: (x + 2)² + (y + 3)² = 25

→ 원점 대칭 → 중심: (-2, 3)
→ 식: (x + 2)² + (y - 3)² = 25

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🎯 함수의 대칭이동

함수 그래프도 점의 이동과 동일한 방식으로 대칭이동합니다.

✏️ 예제 3

함수 f(x) = x²의 그래프를 대칭이동하면?

• x축 대칭: y → -y → -f(x) = -x²
• y축 대칭: x → -x → f(-x) = (-x)² = x² (→ 변화 없음)
• 원점 대칭: f(-x) = -f(x) = -x²

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📝 연습문제

1. 점 B(-4, 2)의 x축, y축, 원점 대칭 이동 결과는?
2. 직선 y = -3x + 2를 y축에 대해 대칭이동한 식은?
3. 원 (x + 1)² + (y - 2)² = 16을 원점에 대해 대칭이동한 식은?
4. 함수 f(x) = x³의 그래프를 x축에 대칭이동한 식은?

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📌 요약 정리

기준축점의 이동식직선 변환 방법

 

x축	(x, -y)	y → -y
y축	(-x, y)	x → -x
원점	(-x, -y)	x → -x, y → -y

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🧡 요약

대칭이동은 단순한 변환 같지만,
좌표 해석, 그래프 변화, 방정식 구성 등
수학의 거의 모든 단원과 연결되어 있는 중요한 개념이에요.

그래서 지금 배운 걸 정확히 이해하면
수능까지 쭉~ 활용할 수 있습니다!