3. 인수분해 (factorization)
# 이 글은 이정훈 작가가 직접 쓴 하루, 수학 글 입니다.
인수분해라는 단원을 대부분 중학교 때 배운다. 인수분해 사전적 정의는 이렇다.
인수분해(factorization)는 주어진 정수 또는 다항식을 인수들의 곱셈 형식으로 만드는 것이다.
위키디피아, 인수분해
https://product.kyobobook.co.kr/detail/S000213262967
하루, 수학(마음이 읽어주는) | 이정훈 - 교보문고
하루, 수학(마음이 읽어주는) | 『하루, 수학』은 수학이 우리에게 주는 위로와 친절함을 전하려 한다. 공식과 계산이 아닌 삶 속 이야기로 수학적 개념을 설명하는 글 속에서 수학이 전해주는
product.kyobobook.co.kr
전개 : (x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12
글자와 기호로 된 정의를 보고 있지만 그 의미를 알기가 쉽지 않다. 시각적인 꼴이 떠오르지 않기 때문이다. 수식을 좀 더 단순하게 만들며 생각을 이어 보자.
우리가 기계적으로 배운 인수분해 식이다.
P = x2 + 2ax + a2
Q = (a + x) (a + x)
라고 한 후 서로의 관계를 조금 더 단순히 해보자
P 가 Q로 되는 것을 수학적으로 인수분해라고 한다.
거꾸로 Q 가 P로 되는 것은 전개라고 한다.
전개라는 말을 사전에서 찾아보면 열리어 나타난다라는 의미를 가지고 있다.
전개는 상자를 풀어 그 안의 선물더미를 푸는 셈이다. 차곡이 쌓여 있는 게 풀어져 있는 상태다.
분해라는 말은 낱낱이 나눈다는 뜻이다. 나눠보니 질서가 보인다. 다시 차곡이 쌓아진 상태다.
이로써 Q와 P는 같은 물건을 정갈히 쌓아 놓거나 열린 곳에 풀어 놓는 차이가 있을 뿐 같은 의미라는 걸 알 수 있다.
(전개) 상자에 많은 선물이 있었다. 상자를 열었다. 선물을 펼쳐 놓았다. 마음이 들뜬다.
(인수분해) 풀어진 선물을 차곡이 쌓아 본다. 아래쪽은 장난감, 위 쪽은 학용품이다. 한눈에 알아보기 쉽다.
전개가 인수분해고 인수분해가 전개가 되는 시간의 흐름을 자유롭게 다녀보자. 다른 듯 닮아있다.
눈으로 확인해 보자
예를들어 x^2 + 2a * x + a^2 은 전개된 상태다. 즉 예를 들면 선물이 바닥에 서로 맞닿은 채 널브러져 있다.
이것이 어떻게 널브러져 있는지 정리하니
(a + x) (a + x) 로 인수분해 된다. 즉 밑변은 x + a로 높이 역시 x + a로 구성된
정사각형 평면의 꼴로 공간을 차지하고 있다는 것을 알 수 있다.
앞서 우리는 인수라는 단어부터 분해, 전개라는 단어를 사용했지만 그 쓰임의 이유를 알지 못했다.
정리해 보자. 왜 전개하고 왜 인수분해를 하는 것인가. 딱딱한 숫자와 말랑한 이야기를 연결해 보자.
어느 날 가난한 청년이 복권에 당첨되었다. 돈이 수중에 들어오자 집 없는 설움을 한 번에 털려는 듯
집을 사러 부동산에 갔다.
부동산 중개인이 물었다. 어느 정도 크기 면 되겠습니까.
청년이 답했다. 한 100m2 이면 됩니다.
부동산 중개인이 다시 묻는다. 어떤 모양의 집을 원합니까? 여기서 한번 골라 보시지요
청년이 여러 집 모양이 조감도를 보았다. 외벽의 형태와 주변 지형지물까지 세세하게 볼 수 있었다.
A 모델 - 정사각형 모양 조감도
B 모델 - 가로가 긴 직사각형 모양
C 모델 - 세로가 긴 직사각형 모양
하지만 청년은 내부 구조를 보고 싶었다. 집 안을 살펴 볼 수 있도록 자세히 설명해 달라고 부탁했다.
부동산 중개인은 다음 장을 넘겨보라고 했다. 청년은 다음장 모델하우스 평면도를 보았다.
A 모델 - 가로 10m 세로 10m
B 모델 - 가로 50m 세로 2m
C 모델 - 가로 4m 세로 25m
청년은 대충 집이 어떤 모양인지 상상해 보았다.
A 모델 - 아름다움이 숨 쉬는 집
B 모델 - 편안함이 가득한 집
C 모델 - 건강함을 지켜주는 집
청년은 어떤 집을 샀을까?
이야기를 마무리하려면 그가 어떤 집을 샀느냐 라로 끝맺어야 한다.
하지만 수학으로 바라보면 이 청년이 어떻게 생각을 전개하고 있는지가 결론이다.
청년이 생각을 전개한 과정이다.
청년은 조감도로 멋지게 그려진 집 들에 대한 설명자료를 보고 궁금증이 생긴다.
다음 장, 다음 장을 전개하면서 집의 꼴을 알게 된다..
인수분해 된 정보를 바탕으로 원하는 집을 선택한다.
인수분해 된 집과 전개된 집은 같은 꼴이다.
거꾸로 해도 마찬가지다. 토마토, 역삼역, 우영우!
결국 주관적 취향이 결정적이겠지만 청년에게는 이러한 생각을 전개하고 선택하게 된다.
인수분해가 가지는 강력함은 그 꼴이 어떠한 모양을 가지게 되는지 정확히 알 수 있다는 점이다.
우리 주변을 보자. 알고는 있지만 정확히 어떤 성질을 가지고 어떻게 구성되어 있는지 모를 경우가 많다.
그래서 과자를 사면 그 과자 봉지에 과자를 인수 분해한 성분 함량이 나열되어 있는 것이다.
이유는 하나다. 이 성분 함량을 보고 먹을지 말지를 결정하라는 것이다.
인수분해를 할 수 있다는 것은 좋은 선택을 하는데 큰 도움이 된다. 그대에게 전개된 삶을 인수분해 해보자
좋고 나쁨은 없다. 자신의 꼴을 알게 된다. 그것이 마음에 드는가? 그러면 계속 정진하라. 바꾸고 싶은가? 인수를
바꿔보자. 우리는 그것을 좋은 습관이라고 부르자. 지금부터 수학하는 습관은 어떠한가?