수학/공통수학2
유리함수 - 고등학교 공통수학 2
친절샘 정이
2025. 4. 20. 10:43
안녕하세요!
오늘도 수학 개념을 차근차근 풀어드리는 친절한 선생님, 친절샘입니다 😊
오늘은 고등학교 함수 단원에서 꼭 알아야 할 유리함수에 대해 같이 알아보도록 해요.
'유리함수' 하면 괜히 복잡하고 어렵게 느껴질 수 있지만, 오늘 수업으로 확실히 이해하고 가봅시다!
✔️ 유리함수란?
먼저 유리함수의 정의부터 볼게요.
유리함수란, 분모와 분자에 모두 다항식이 들어 있는 함수를 말합니다.
즉, f(x) = (P(x))/(Q(x)) 와 같이 나타내는 함수예요. 여기서 P(x)와 Q(x)는 모두 다항식입니다.
예를 들어,
- f(x) = 1/x
- f(x) = (x + 1)/(x - 2)
- f(x) = (x^2 + 3)/(x^2 - 1)
위와 같은 함수들은 모두 유리함수예요.
✔️ 유리함수의 핵심 특징
- 정의역 제한이 있어요!
분모가 0이 되는 x 값은 함수의 정의역에서 제외돼요. - 예) f(x) = 1/(x - 3) 의 정의역은 x ≠ 3
- 그래프가 끊어지는 구간이 생깁니다.
분모가 0이 되는 값에서는 그래프가 점근선(근처로만 다가가고 닿지 않는 선)을 가지게 돼요. - 특정 유리함수는 그래프가 대칭형이기도 해요.
예를 들어, f(x) = 1/x 는 원점 대칭 그래프입니다.
✔️ 유리함수의 대표 형태
1. 기본형: f(x) = 1/x
- 정의역: x ≠ 0
- 치역: y ≠ 0
- x축, y축은 점근선
- (x, y) 값들이 대칭적으로 분포됨 (사분면 1, 3)
2. 확장형: f(x) = a/(x - b) + c
이 형태는 유리함수의 기본형을 평행이동한 형태예요.
- a는 그래프의 방향과 크기를 바꾸고
- b는 x축 방향으로 평행이동
- c는 y축 방향으로 평행이동
예) f(x) = 2/(x - 1) + 3
- 정의역: x ≠ 1
- 점근선: x = 1, y = 3
- 기본형 그래프를 오른쪽으로 1만큼, 위로 3만큼 평행이동한 형태
✔️ 유리함수 문제 예제
문제 1
다음 함수의 정의역을 구하세요.
f(x) = (x^2 + 1)/(x - 2)
→ 분모가 0이 되면 안 되므로 x ≠ 2
→ 정의역: 모든 실수 중 x ≠ 2
문제 2
f(x) = 1/(x + 3) 의 그래프의 점근선을 쓰세요.
→ x = -3 (수직 점근선), y = 0 (수평 점근선)
문제 3
f(x) = -2/(x - 1) + 4 의 점근선을 구하고 그래프의 대칭성을 말해보세요.
→ x = 1, y = 4 가 점근선
→ y축 방향으로 대칭이 아니라, y = 4 를 기준으로 위아래 대칭 구조
✔️ 유리함수에서 자주 하는 실수
- 분모에 0이 되는 값을 놓치는 경우 → 정의역 반드시 체크!
- 분자/분모 인수분해 안 한 채 단순 계산
- 점근선의 위치를 기본형 기준으로 잘못 해석
👉 이런 실수를 줄이기 위해선 반드시 ‘분모를 먼저 확인’하는 습관을 들이세요.
✔️ 친절샘의 핵심 요약
- 유리함수는 다항식 나눗셈 형태
- 분모가 0이 되는 값은 반드시 정의역에서 제외
- 그래프에는 수직 및 수평 점근선이 존재
- 기본형은 f(x) = 1/x, 확장형은 이동 적용한 형태
- a, b, c 값의 역할을 기억하고 그래프를 떠올려 보세요!