합성함수의 성질 - 고등학교 공통수학 2
안녕하세요, 여러분!
수학이 쉬워지는 마법 같은 시간, 오늘도 친절샘과 함께해 주셔서 감사합니다 😊
이전 시간에는 합성함수의 정의에 대해 배웠죠.
오늘은 그 개념을 조금 더 깊이 들어가 볼 거예요.
바로 합성함수의 성질입니다!
합성함수는 단순히 두 함수를 연결한 것이 아니라,
함수들 간의 관계와 구조를 파악하는 데 핵심적인 개념이랍니다.
✅ 복습! 합성함수란?
두 함수 f, g에 대해
**(f ○ g)(x) = f(g(x))**로 정의되는 새로운 함수.
중요한 점은 g(x)를 먼저 계산한 후, 그 결과를 f에 넣는다는 것!
🔍 합성함수의 주요 성질
1. 결합법칙 (Associativity)
세 함수 f, g, h에 대해
(f ○ g) ○ h = f ○ (g ○ h)
이건 마치 괄호를 어떻게 치더라도 결과가 같다는 뜻이에요.
예시
f(x) = 2x,
g(x) = x + 3,
h(x) = x²
(1) 좌변:
(f ○ g)(x) = f(g(x)) = 2(x + 3) = 2x + 6
→ (f ○ g) ○ h = (2x + 6) ○ h = (2(h(x)) + 6) = 2x² + 6
(2) 우변:
(g ○ h)(x) = g(h(x)) = x² + 3
→ f ○ (g ○ h) = f(x² + 3) = 2(x² + 3) = 2x² + 6
좌우가 같죠?
✔️ 결합법칙 성립!
2. 항등함수와 합성
항등함수 I(x)는 어떤 값을 넣어도 그대로 나오는 함수예요.
즉, I(x) = x
그럼 함수 f와 항등함수 I를 합성하면 어떻게 될까요?
- (f ○ I)(x) = f(I(x)) = f(x)
- (I ○ f)(x) = I(f(x)) = f(x)
✔️ 항등함수는 합성함수에서 아무 영향도 주지 않아요.
3. 역함수와의 관계
함수 f가 일대일 대응일 때, 역함수 f⁻¹이 존재하죠.
이때 중요한 성질이 있어요.
- (f ○ f⁻¹)(x) = x
- (f⁻¹ ○ f)(x) = x
즉, 함수와 그 역함수를 합성하면 항등함수가 된다!
📌 이 성질을 시험에서 자주 활용해요!
📝 실전 예제
문제 1
f(x) = 3x + 1, g(x) = x - 2, h(x) = x²일 때,
(f ○ g) ○ h 와 f ○ (g ○ h)를 비교해보세요.
(1) (f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 2) = 3(x - 2) + 1 = 3x - 6 + 1 = 3x - 5
→ (f ○ g) ○ h = (3x - 5) ○ h = 3(h(x)) - 5 = 3x² - 5
(2) (g ○ h)(x) = g(x²) = x² - 2
→ f ○ (g ○ h) = f(x² - 2) = 3(x² - 2) + 1 = 3x² - 6 + 1 = 3x² - 5
✔️ 따라서 (f ○ g) ○ h = f ○ (g ○ h)
문제 2
f(x) = x + 4, I(x) = x
(1) (f ○ I)(x) = f(I(x)) = f(x) = x + 4
(2) (I ○ f)(x) = I(f(x)) = I(x + 4) = x + 4
✔️ 항등함수의 성질 확인 완료!
💡 실전 응용
합성함수의 성질은 함수 문제를 간단하게 정리하거나,
함수의 역함수를 찾을 때 매우 유용해요.
예를 들어,
f(g(x)) = x 라면,
f는 g의 역함수일 가능성이 있어요!
이러한 추론은 함수 간 관계 파악을 더 쉽게 만들어 줍니다.
📚 친절샘의 정리 노트
- 합성함수는 순서가 중요하다. (g 먼저, 그다음 f)
- 결합법칙이 성립한다: (f ○ g) ○ h = f ○ (g ○ h)
- 항등함수는 합성해도 영향을 주지 않는다: f ○ I = f, I ○ f = f
- 역함수와의 합성은 항등함수가 된다: f ○ f⁻¹ = I
- 함수 간 관계를 파악할 때 매우 유용하다!