함수의 그래프 - 고등학교 공통수학 2

수학/공통수학2

친절샘 정이 2025. 4. 20. 10:21

수학의 재미를 알려드리는 고등학교 수학 선생님 친절샘이에요 😊
오늘은 여러분이 함수 개념을 완전히 이해하는 데 꼭 필요한 **‘함수의 그래프’**에 대해 설명드릴게요.

1. 함수의 그래프란?

함수의 그래프는 말 그대로, 입력 x에 대한 출력 f(x)의 관계를 시각적으로 표현한 것입니다.
각각의 x값에 대응되는 y값을 점 (x, f(x))의 형태로 나타내고, 이 점들을 모아 연결한 것이 바로 그래프예요.

예를 들어, 함수 f(x) = x²의 그래프는 어떤 모습일까요?

x = -2일 때 f(x) = 4 → 점 (-2, 4)
x = -1일 때 f(x) = 1 → 점 (-1, 1)
x = 0일 때 f(x) = 0 → 점 (0, 0)
x = 1일 때 f(x) = 1 → 점 (1, 1)
x = 2일 때 f(x) = 4 → 점 (2, 4)

이 점들을 좌표평면에 찍고 매끄럽게 연결하면 U자 형태의 포물선이 됩니다.
이렇게 그래프는 함수를 눈으로 이해할 수 있게 도와주는 강력한 도구랍니다.

고등학교에서 자주 만나는 함수 그래프에는 다음과 같은 종류가 있어요.

예시: f(x) = 2x + 1
→ 기울기 2, y절편 1인 직선 그래프.

예시: f(x) = x²
→ 꼭짓점이 원점(0, 0)인 아래로 열린 포물선.

함수를 그래프로 이해할 때는 다음 사항에 주목하세요.

대부분의 고등학교 함수는 연속이지만, 가끔 그래프에 점이 "뚝 끊어지는" 경우도 있어요.
예: f(x) = 1 / (x - 2) → x = 2에서 그래프가 끊어짐 (정의역에서 제외됨)

그래프를 그릴 때는 함수의 정의역과 치역을 항상 함께 생각해야 해요.
예: f(x) = √(x - 1) → 정의역은 x ≥ 1, 치역은 y ≥ 0

함수 f(x) = 2x + 3의 그래프 위의 점 중, x = -1일 때 y값을 구하세요.

→ f(-1) = 2 * (-1) + 3 = -2 + 3 = 1
→ 그래프 위에 있는 점은 (-1, 1)

함수 f(x) = |x - 2|의 그래프를 생각할 때, x = 2일 때 기울기의 변화는?

→ x < 2에서는 기울기 -1
→ x > 2에서는 기울기 1
→ x = 2에서 방향이 바뀌는 꼭짓점이 존재!

여러분, 수학 시험에서 그래프를 직접 그리라고 하지 않더라도,
그래프를 머릿속에 떠올릴 수 있는 능력은 정말 중요해요.
왜냐하면 함수의 극댓값, 극솟값, 증가·감소 구간 등을 판단할 때
그래프만큼 빠르게 감을 잡게 해주는 도구는 없기 때문이죠.