절대부등식의 증명 – 산술, 기하, 조화평균 - 고등학교 공통수학 2
안녕하세요, 수학을 친절하게 알려드리는 친절샘입니다 😊
오늘은 부등식 중에서도 수능에 자주 등장하고, 수학적 논증의 기본 중의 기본인 절대부등식의 증명을 다뤄보겠습니다.
특히 산술평균(AM), 기하평균(GM), **조화평균(HM)**의 관계를 이용한 절대부등식을 중심으로 살펴볼게요.
✅ 절대부등식이란?
절대부등식이란, 모든 정의된 범위 내에서 항상 참이 되는 부등식입니다.
수학적으로 말하면 항상 성립하는 부등식, 즉 항진적인 불평등이에요.
대표적인 절대부등식 중 하나가 바로 다음입니다:
(a + b)/2 ≥ √(ab)
(단, a > 0, b > 0)
이 부등식은 산술평균과 기하평균 사이의 부등식으로,
항상 성립하고 등호는 a = b일 때만 성립합니다.
✅ 1. 산술평균 ≥ 기하평균 (AM ≥ GM)
💡 정리
양수 a, b에 대하여 다음 부등식이 항상 성립합니다.
(a + b)/2 ≥ √(ab)
📌 증명
(a - b)² ≥ 0
→ a² - 2ab + b² ≥ 0
→ a² + 2ab + b² ≥ 4ab
→ (a + b)² ≥ 4ab
→ (a + b)/2 ≥ √(ab)
✔ 등호 성립: a = b일 때
✅ 2. 기하평균 ≥ 조화평균 (GM ≥ HM)
💡 정리
양수 a, b에 대하여 다음 부등식이 항상 성립합니다.
√(ab) ≥ 2ab / (a + b)
📌 증명
좌변과 우변의 차를 비교해볼게요.
우변을 GM으로 바꾸어 정리하면:
√(ab) ≥ 2ab / (a + b)
양변에 (a + b) × √(ab)를 곱하면
(a + b) × √(ab) ≥ 2ab
양변 제곱:
(a + b)² × ab ≥ 4a²b²
→ a²b + 2ab² + b²a ≥ 4ab
→ 좌변이 더 큼을 확인할 수 있습니다.
✔ 등호 성립: a = b일 때
✅ 3. 산술평균 ≥ 조화평균 (AM ≥ HM)
이건 위 두 개를 종합한 결과예요.
💡 정리
양수 a, b에 대하여
(a + b)/2 ≥ 2ab / (a + b)
✔ 이 부등식 역시 항상 성립하며, 등호는 a = b일 때 성립합니다.
🧠 세 평균 정리
양수 a, b에 대하여 항상 다음 관계가 성립합니다:
산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균
즉,
(a + b)/2 ≥ √(ab) ≥ 2ab / (a + b)
등호는 a = b일 때만 성립합니다.
✍️ 실전 예제
예제 1
양수 a, b에 대하여 다음 부등식을 증명하세요.
(a + b)/2 ≥ √(ab)
✔ 해설: 위의 증명대로 (a - b)² ≥ 0에서 출발하면 됩니다.
예제 2
다음 중 항상 성립하는 부등식을 모두 고르시오.
(1) (a + b)/2 ≥ √(ab)
(2) √(ab) ≥ 2ab / (a + b)
(3) (a + b)/2 ≤ √(ab)
정답: (1), (2)
(3)은 틀렸어요! √(ab)는 (a + b)/2보다 작거나 같기 때문입니다.
📝 마무리 요약
| 산술평균 (AM) | (a + b)/2 | 수의 평균 | ✔ |
| 기하평균 (GM) | √(ab) | 곱의 평균 | ✔ |
| 조화평균 (HM) | 2ab / (a + b) | 역수의 평균 | ✔ |
그리고 반드시 기억하세요!
AM ≥ GM ≥ HM
✔ 단, a = b일 때만 등호 성립