유한집합의 원소의 개수 - 고등학교 공통수학 2
🧭 유한집합이란?
고등학교 수학에서 집합은 아주 중요한 개념이에요.
그중에서도 유한집합은 우리가 손으로 셀 수 있는, 즉 원소의 개수가 유한한 집합을 말해요.
예를 들어,
- A = {1, 2, 3}
- B = {사과, 바나나, 포도}
이처럼 원소가 명확하게 끝나는 집합은 모두 유한집합입니다.
반면에 다음과 같은 집합은 무한집합이에요.
- C = {1, 2, 3, 4, ...}
- D = {x ∈ ℕ | x는 짝수}
이제 오늘의 주제인 “유한집합의 원소 개수”로 들어가 볼까요?
✅ 유한집합의 원소 개수 세는 법
유한집합은 원소를 직접 셀 수 있기 때문에, 카운팅이 핵심입니다.
예를 들어,
→ 원소 개수는?
→ n(A) = 5
n(A)는 집합 A의 원소 개수를 의미하는 표기입니다.
✅ 원소가 규칙적으로 나열된 경우엔?
단순한 원소 나열이 아니라 일정한 규칙을 가진 집합의 원소 개수를 구할 때는
등차수열 공식을 활용할 수 있어요!
예제처럼 살펴볼게요.
✏️ 예제 1
문제
A = {x | x는 1 이상 100 이하의 자연수 중 3의 배수}
n(A)는?
풀이
3의 배수: 3, 6, 9, ..., 99 → 등차수열!
- 초항 a = 3
- 공차 d = 3
- 마지막 항 l = 99
등차수열 항의 개수 공식:
✅ 정답: n(A) = 33
✅ 합집합, 교집합, 여집합과 관련된 개수 계산
유한집합의 원소 수를 다룰 때 자주 등장하는 공식이 있어요!
이 공식은 중복을 한 번 빼주는 역할을 하죠.
✏️ 예제 2
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}
n(A) = 5, n(B) = 5, n(A ∩ B) = 3
n(A ∪ B)는?
✅ 정답: 7
✅ 여집합의 원소 개수는?
전체집합 U에서 A의 여집합 A′는 다음처럼 정의돼요.
✏️ 예제 3
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {2, 4, 6, 8, 10}
→ n(U) = 10
→ n(A) = 5
→ n(A′) = 10 - 5 = 5
✅ 여집합의 원소 개수는 5
✅ 조건제시법으로 표현된 경우에도?
조건제시법으로 주어진 집합이라면
해당 조건을 만족하는 원소 개수를 파악해야 합니다.
✏️ 예제 4
B = {x | 1 ≤ x ≤ 100, x는 5 또는 7의 배수}
n(B)는?
풀이
5의 배수 개수:
100 ÷ 5 = 20
7의 배수 개수:
100 ÷ 7 = 14
공통된 배수(5와 7의 공배수 = 35의 배수):
100 ÷ 35 = 2
✅ 정답: 32
✅ 정리 포인트
| 집합 A의 원소 개수 | n(A) |
| 등차수열 형태일 때 | (마지막 항 - 첫 항) ÷ 공차 + 1 |
| 합집합의 원소 개수 | n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) |
| 여집합의 원소 개수 | n(A′) = n(U) - n(A) |
📝 연습문제
- 집합 A = {x | 1 ≤ x ≤ 50, x는 4 또는 6의 배수}일 때,
A의 원소 개수 n(A)는? - U = {1, 2, ..., 20}, A = {2, 4, 6, ..., 20}일 때
A′의 원소 개수는? - A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, n(A ∪ B)는?
✅ 친절샘의 마무리 꿀팁
- 유한집합의 원소 수 구하는 건 셈의 기본기!
- 등차수열, 공배수, 중복원소 주의!
- n(A ∪ B) 공식은 집합 단원 최강 무기예요 💪
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