특정한 원소를 포함하는 부분집합의 개수 구하기 - 고등학교 공통수학 2
🧭 "부분집합 중, 특정 원소가 반드시 들어가야 한다면?"
여러분 안녕하세요! 오늘도 수학 개념 하나 정복해볼까요?
우리는 지난 시간에
어떤 집합 A의 부분집합 개수는 2ⁿ개라는 걸 배웠어요.
그런데 이렇게 질문이 나오면 어떨까요?
“집합 A에서 특정 원소 a를 반드시 포함하는 부분집합은 몇 개일까?”
이 문제를 제대로 이해하려면
부분집합의 생성 원리를 정확히 알고 있어야 해요.
오늘은 친절샘과 함께
특정한 원소를 반드시 포함하는 경우의 부분집합 개수를
깔끔하게 정리해보겠습니다!
✅ 부분집합 개수 공식 다시 복습
원소의 개수가 n개인 집합 A에 대해,
- 전체 부분집합 개수는
2ⁿ - 진부분집합 개수는
2ⁿ - 1
예) A = {1, 2, 3}
→ 원소 개수 n = 3
→ 부분집합 개수 = 2³ = 8
→ 진부분집합 개수 = 2³ - 1 = 7
✅ 특정 원소를 포함하는 부분집합 개수 구하는 법
핵심 아이디어는 간단합니다!
집합에서 특정 원소 하나를 고정시켜놓고,
나머지 원소들로 만들 수 있는 모든 조합을 구하면 됩니다.
📌 공식
왜냐하면?
원소 a를 무조건 포함한다고 정해두면
남은 n - 1개의 원소들로 자유롭게 부분집합을 만들 수 있으니까요.
✅ 예시로 이해해볼까요?
예제 1
A = {1, 2, 3, 4}에서
원소 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수는?
풀이
전체 원소 수: 4개
→ 특정 원소 1을 고정
→ 남은 원소: {2, 3, 4} → 3개
→ 만들 수 있는 조합 수 = 2³ = 8
✅ 정답: 8개
✅ 반대로, 특정 원소를 포함하지 않는 부분집합?
이것도 쉽게 구할 수 있어요!
그 이유는 같죠!
그 원소를 제외한 채 나머지 n - 1개의 원소로 만들면 되니까요.
즉,
- 포함하는 경우 = 2^(n - 1)
- 포함하지 않는 경우 = 2^(n - 1)
- 전체 개수 = 2ⁿ
→ 완벽하게 나누어지죠!
✏️ 예제 2
문제
집합 A = {a, b, c, d, e}에서
원소 b를 반드시 포함하는 부분집합의 개수를 구하시오.
풀이
전체 원소 수: 5개
→ b 포함 고정 → 나머지 4개로 조합
→ 2⁴ = 16
✅ 정답: 16개
✏️ 예제 3 (실전형)
문제
집합 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}에서
1과 2를 모두 포함하는 부분집합의 개수는?
풀이
1, 2 고정 → 나머지 원소: {3, 4, 5, 6} → 총 4개
→ 가능한 조합: 2⁴ = 16
✅ 정답: 16개
✏️ 예제 4 (조금 어려운 유형)
문제
A = {x, y, z, w}
부분집합 중에서 x는 포함하고, y는 포함하지 않는 경우의 수는?
풀이
- x는 반드시 포함 → 고정
- y는 반드시 제외 → 제거
- 남은 원소: z, w → 2개
→ 2² = 4
✅ 정답: 4개
🧠 정리 요약
| 특정 원소 a를 반드시 포함 | 2^(n - 1) |
| 특정 원소 a를 포함하지 않음 | 2^(n - 1) |
| 특정 원소 a, b를 모두 포함 | 2^(n - 2) |
| 특정 원소 a 포함, b 제외 | 2^(n - 2) |
이 표만 기억해도
시험에서 이런 유형의 문제는 쉽게 풀 수 있어요!
📝 연습문제
- 집합 A = {a, b, c, d}에서
a를 반드시 포함하는 부분집합 개수는? - 집합 B = {1, 2, 3, 4, 5}에서
2와 4를 포함하고, 1은 포함하지 않는 부분집합 개수는? - 집합 C = {x, y, z}의 부분집합 중
x만 포함하고 y와 z는 포함하지 않는 부분집합 개수는?
✅ 친절샘의 마무리 팁
- 특정 원소 포함 문제는
해당 원소 고정 + 나머지 자유 조합이라는 원리를 꼭 기억하세요. - 반드시 포함 or 반드시 제외 →
그 원소를 미리 처리한 뒤 남은 원소만 조합 - 문제에 “최소 하나 포함” 같은 조건이 있으면
전체에서 “아예 안 포함한 경우”를 뺀다 →
2ⁿ - 2^(n - k)처럼 조합 응용