점과 직선 사이의 거리 - 고등학교 공통수학 2

점과 직선 사이의 거리 완벽 정리!

친절하게 알려주는 고등학교 수학 선생님, 친절샘 😊

안녕하세요, 여러분!
오늘은 좌표기하 단원에서 매우 중요하고,
시험에서도 자주 등장하는 **“점과 직선 사이의 거리”**에 대해 알아보겠습니다.

이 주제는 기하적 개념과 해석적 계산이 결합된 파트이기 때문에
공식을 정확히 이해하고 어디에 어떻게 적용하는지가 매우 중요하답니다.

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✅ 점과 직선 사이의 거리란?

말 그대로, 어떤 점에서 직선까지의 가장 짧은 거리를 의미해요.
이 거리는 항상 직선에 수직으로 내린 선분의 길이와 같아요.

예를 들어,
점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0이 주어졌을 때,
점 P에서 이 직선까지의 거리는 아래 공식을 사용해 구할 수 있어요.

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✅ 점과 직선 사이의 거리 공식

 

거리 d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)

여기서,

• (x₁, y₁): 점의 좌표
• ax + by + c = 0: 직선의 일반형
• 분자는 절댓값으로, 분모는 √(a² + b²)

이 공식은 정확한 유도 과정을 몰라도 문제 풀이에 바로 적용할 수 있기 때문에
꼭 외워두는 게 좋아요.

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✅ 예제 1

문제
점 P(3, 2)에서 직선 2x - y + 1 = 0까지의 거리를 구하시오.

풀이
공식에 대입합니다.

a = 2, b = -1, c = 1

 

x₁ = 3, y₁ = 2

 

거리 d = |2×3 + (-1)×2 + 1| / √(2² + (-1)²)

 

= |6 - 2 + 1| / √(4 + 1)

 

= |5| / √5

 

= 5 / √5

 

= √5

✅ 정답: √5

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✅ 예제 2

문제
점 Q(-1, 4)에서 직선 x + 2y - 5 = 0까지의 거리를 구하시오.

풀이
a = 1, b = 2, c = -5
x₁ = -1, y₁ = 4

 

거리 d = |1×(-1) + 2×4 - 5| / √(1² + 2²)

 

= |-1 + 8 - 5| / √(1 + 4)

 

= |2| / √5

 

= 2 / √5

✅ 정답: 2 / √5

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✅ 점이 직선 위에 있는 경우?

공식에 넣었을 때 분자가 0이 나오면,

|ax₁ + by₁ + c| = 0

즉, 점이 직선 위에 있는 경우이고, 이때 거리 d = 0입니다.
바로 문제에서 점이 직선 위에 있는지 확인하는 방법도 돼요!

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✅ 연습문제

1. 점 (2, -1)에서 직선 3x + 4y - 5 = 0까지의 거리를 구하시오.
2. 점 (0, 0)에서 직선 x - y + 2 = 0까지의 거리를 구하시오.
3. 직선 2x - 3y + 1 = 0 위에 있는 점인지 판단하고, 거리를 구하시오: 점 (3, 1)

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✅ 공식 외우는 팁

• 분자는 직선식에 점을 대입한 결과의 절댓값
• 분모는 x계수 제곱 + y계수 제곱의 루트
• |ax + by + c| / √(a² + b²) 형식 그대로 써보며 외워보세요!

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✅ 친절샘의 정리

• 공식은 반드시 외우자
• 직선은 반드시 **일반형(ax + by + c = 0)**으로 써야 한다
• 점을 대입한 후 절댓값을 꼭 씌워야 한다
• 분모의 √(a² + b²)에서 실수하지 않기!

점과 직선 사이의 거리는 좌표기하, 벡터, 미분 등 다양한 단원과 연결되니
지금 정확히 익혀두는 것이 아주 중요하답니다 😊