선분의 내분점과 외분점 - 고등학교 공통수학 2
선분의 내분점과 외분점, 어렵지 않아요!
수학을 친절하게 알려주는 고등학교 수학 선생님 친절샘 😊
안녕하세요!
오늘은 좌표기하에서 자주 등장하는 개념인 선분의 내분점과 외분점에 대해 함께 공부해볼게요.
이 개념은 도형 문제, 좌표 문제, 심지어 수능에서도 단골로 등장하는 아주 중요한 개념이에요.
“내분? 외분? 이름부터 낯설어요.”
걱정 마세요. 친절샘이 아주 쉽게 알려드릴게요!
✔ 내분점이란?
선분 AB 위의 한 점 P가 선분을 어떤 비율로 나눈다고 할 때,
그 점 P를 내분점이라고 해요.
즉, A에서 B까지 이어지는 선분 위에 P가 있고,
P가 AB를 m : n의 비율로 나눈다면,
P는 선분 AB의 내분점이라고 합니다.
✔ 내분점의 좌표 공식
점 A(x₁, y₁), 점 B(x₂, y₂)가 있을 때,
점 P가 선분 AB를 m : n으로 내분하면,
P의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있어요.
즉,
주의할 점!
- x좌표는 x끼리, y좌표는 y끼리 계산!
- 순서도 중요해요. A에서 B 방향으로 m : n이라고 했을 때
→ x₁에 n, x₂에 m 곱합니다.
✔ 예제 1: 내분점
문제
A(2, 3), B(6, 11) 사이를 1 : 3으로 내분하는 점 P의 좌표를 구하시오.
풀이
m = 1, n = 3
P의 y좌표 = (3 * 3 + 1 * 11) / (1 + 3) = (9 + 11) / 4 = 20 / 4 = 5
✅ 정답: P(3, 5)
✔ 외분점이란?
선분 AB의 연장선상에 있는 점 P가
선분 AB를 m : n으로 외분한다고 할 때,
이 점 P를 외분점이라고 해요.
즉, P가 선분을 m : n으로 나누되,
선분 AB 위가 아닌, 바깥쪽에 있다는 뜻입니다.
✔ 외분점의 좌표 공식
외분점 공식은 내분점과 거의 같지만,
부호에 주의해야 합니다.
또는,
주의할 점!
- 분모는 (m - n)!
- 분자는 순서대로 넣되 부호에 주의하세요!
✔ 예제 2: 외분점
문제
A(1, 2), B(7, 8)를 2 : 1로 외분하는 점 P의 좌표를 구하시오.
풀이
m = 2, n = 1
✅ 정답: P(13, 14)
✔ 실전 팁
- 내분점인지 외분점인지 꼭 확인하세요! (문제에서 강조됨)
- 비율이 m : n일 때, 내분은 (m + n), 외분은 (m - n)
- 내신과 수능에서 자주 나오는 단원이에요. 특히 내분점은 여러 단원과 연결됩니다!
✔ 연습문제
- A(0, 0), B(4, 4)를 1 : 1로 내분하는 점 P의 좌표는?
- A(2, -1), B(6, 3)를 3 : 2로 외분하는 점의 좌표를 구하시오.
- A(-1, 2), B(5, 8)를 2 : 1로 내분하는 점의 좌표는?
✔ 친절샘 정리!
- 내분: 선분 AB 위의 점이 일정한 비율로 선분을 나누는 것
→ 공식: P = ((n * x₁ + m * x₂) / (m + n), (n * y₁ + m * y₂) / (m + n)) - 외분: 선분 AB 바깥쪽 연장선상에서 선분을 m : n으로 나누는 것
→ 공식: P = ((m * x₂ - n * x₁) / (m - n), (m * y₂ - n * y₁) / (m - n))
이 공식을 자유롭게 쓸 수 있어야
좌표기하 문제에서 두려움 없이 문제를 풀 수 있어요!