삼차방정식의 허근 ω의 성질 - 고등학교 공통수학 1
[고등수학 개념정복] 삼차방정식의 허근 ω의 성질 – 친절샘이 쉽게 설명해줄게요 😊
안녕하세요!
수학을 친절하고 재미있게 설명해주는 여러분의 선생님, 친절샘입니다.
오늘은 고등수학에서 꼭 한 번 짚고 넘어가야 할 특별한 개념,
바로 삼차방정식의 허근 ω(오메가)의 성질에 대해 함께 배워볼 거예요.
“허근”이라는 말에 벌써 머리가 아픈 친구들도 있을 수 있지만,
사실 이 ω는 매우 규칙적인 성질을 가지고 있어서
문제 풀이에 엄청나게 도움이 되는 고마운 친구랍니다.
오늘 이 글을 통해 허근 ω의 정의, 특징, 활용법까지 완벽히 정리해보아요!
2분할 수학노트로 수학공부 열심히 해보세요!!!
https://smartstore.naver.com/muadeep/products/11680558051
2분할 수학노트 아이코닉 오납노트 베이직 : 무아딥
[무아딥] 소품 전문점
smartstore.naver.com
✔️ 허근 ω란 무엇인가요?
삼차방정식에서 자주 등장하는 **허근 ω(오메가)**는
다음 조건을 만족하는 복소수입니다.
ω ≠ 1, ω³ = 1
그리고 또 하나 중요한 관계!
1 + ω + ω² = 0
이러한 ω를 세제곱근 단위 허수 또는
1의 세제곱근 중 실수 1이 아닌 복소수 해라고 부릅니다.
✔️ ω의 세 가지 성질 꼭 기억하기!
✅ ① ω³ = 1
세 번 곱하면 1이 된다.
즉, ω는 자기 자신을 세 번 곱하면 다시 1로 돌아오는 수예요.
✅ ② 1 + ω + ω² = 0
이 관계식은 거의 모든 ω 관련 문제에서 핵심 열쇠가 됩니다!
✅ ③ ω ≠ 1
1은 실수 근이고, ω는 허수 근이에요.
복소수의 형태를 띠며, 그래프 상에서는 회전을 표현하기도 해요.
✔️ 왜 삼차방정식에서 ω가 필요할까요?
삼차방정식 x³ = a의 해를 생각해볼게요.
이 방정식의 실근은 분명 x = ∛a 이겠죠?
그런데 복소수 영역에서는 세 개의 서로 다른 해가 존재합니다.
이 세 근은 다음과 같이 표현돼요.
x = ∛a, x = ω∛a, x = ω²∛a
즉, 실수 해 ∛a를 기준으로
나머지 두 개의 허근은 ω와 ω²를 곱한 형태로 만들어집니다.
📘 예제 1
x³ = 8의 세 근을 모두 구하시오.
→ 실근: ∛8 = 2
→ 나머지 두 근: ω×2, ω²×2
✅ 정답: x = 2, 2ω, 2ω²
📘 예제 2
x³ = -1의 세 근은?
→ 실근: x = -1
→ 나머지 두 근: x = -ω, -ω²
✅ 정답: x = -1, -ω, -ω²
✔️ ω 관련 계산에서 자주 쓰는 팁
- ω³ = 1이므로, ω⁴ = ω, ω⁵ = ω², ω⁶ = 1, …
→ ω의 거듭제곱은 3으로 나눈 나머지를 이용해 단순화할 수 있어요. - 1 + ω + ω² = 0
→ 식에 1 + ω 또는 ω + ω²가 보이면 곧바로 0 또는 -1 등으로 바꾸기 - ω는 복소수의 회전을 나타내는 수
→ x³ = a의 세 근은 복소평면에서 정삼각형을 이루는 구조를 가집니다.
📘 예제 3
(1 + ω + ω²)² = ?
→ 1 + ω + ω² = 0 → 0² = 0
✅ 정답: 0
📘 예제 4
(1 + ω)(1 + ω²) = ?
→ 분배법칙 사용: 1 + ω + ω² + ω³
→ 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
→ 결과 = 0 + 1 = 1
✅ 정답: 1
📘 예제 5
(1 - ω)(1 - ω²) = ?
→ 전개: 1 - ω - ω² + ω³ = 1 - (ω + ω²) + 1
→ ω + ω² = -1 → 1 - (-1) + 1 = 3
✅ 정답: 3
✔️ 실전 연습문제
문제 1
x³ = 27의 세 근을 모두 구하시오.
→ ∛27 = 3 → x = 3, 3ω, 3ω²
문제 2
x³ = 1의 해는?
→ x = 1, ω, ω²
문제 3
(1 + ω + ω²) × (1 - ω + ω²) = ?
→ 첫 괄호 = 0 → 0 × (나머지) = 0
✅ 정답: 0
문제 4
ω⁴ + ω⁵ + ω⁶ = ?
→ ω⁴ = ω, ω⁵ = ω², ω⁶ = 1
→ ω + ω² + 1 = 0
✅ 정답: 0
✔️ 친절샘의 마무리 정리 😊
삼차방정식의 해를 구할 때,
복소수 해가 반드시 ω와 ω²를 곱한 형태로 등장한다는 사실!
이것만 기억하면, 복잡한 문제도 훨씬 쉽게 접근할 수 있어요.
- ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0
- x³ = a의 해 → x = ∛a, ω∛a, ω²∛a
- 지수계산은 3으로 나눈 나머지를 사용하자!
삼차방정식의 허근 ω는 처음엔 낯설지만,
그 규칙성과 대칭성을 알고 나면 오히려 계산을 도와주는 도구가 됩니다.
오늘 배운 내용을 바탕으로 ω 문제는 이제 자신 있게 풀 수 있겠죠? 😊