🔍 나머지정리와 인수정리 – 친절샘과 함께하면 수학도 쉽고 재미있어요!

안녕하세요! 수학이 쉬워지는 시간, 여러분의 수학 선생님 친절샘이에요 😊
오늘은 고등학교 수학에서 다항식의 핵심 개념 중 하나인 나머지정리와 인수정리에 대해 알아볼 거예요.
이 개념은 내신 시험에서도 자주 출제되고, 문제 풀이의 실마리가 되기도 해서 꼭! 알고 있어야 해요.

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📌 나머지정리란?

먼저, 다항식 P(x)를 일차식 (x - a)로 나누었을 때, 나머지를 빠르게 구할 수 있는 방법이 바로 나머지정리입니다.

🔑 나머지정리의 핵심 공식

P(x)를 (x - a)로 나누었을 때 나머지는 **P(a)**이다.

즉, 다항식을 일차식으로 나눌 때, 복잡하게 나눗셈을 하지 않아도
**그냥 a를 대입하면 나머지가 나온다!**는 아주 유용한 공식이에요.

📘 예제 1

P(x) = x² + 3x + 2 를 (x - 1)로 나누었을 때 나머지를 구하시오.

👉 나머지정리에 따르면, P(1)을 구하면 돼요.

P(1) = (1)² + 3×1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6

✅ 정답: 나머지는 6

📌 인수정리란?

인수정리는 나머지정리를 살~짝 뒤집은 개념이에요.

🔑 인수정리의 핵심 공식

P(a) = 0 이면, (x - a)는 P(x)의 인수이다.

즉, 어떤 값을 다항식에 넣었더니 0이 나온다면, 그 수를 이용한 일차식 (x - a)는 그 다항식의 인수라는 뜻이에요.

📘 예제 2

P(x) = x² - 5x + 6일 때, (x - 2)가 인수인지 확인하시오.

👉 인수정리에 따라, P(2)를 계산해 보면 됩니다.

P(2) = (2)² - 5×2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0

✅ 정답: P(2) = 0 이므로, (x - 2)는 인수이다.

🔄 나머지정리와 인수정리의 관계

이 두 정리는 서로 연결돼 있어요!

P(a) = r 이면, 나머지는 r
그런데 P(a) = 0 이면, 나머지가 0이니까 (x - a)는 인수!

즉, 인수정리는 나머지정리의 특수한 경우라고 볼 수 있어요.

📝 연습문제

문제 1

P(x) = 2x² + 3x - 1 을 (x + 2)로 나누었을 때 나머지를 구하세요.

문제 2

P(x) = x³ - 2x² - x + 2 에 대해 (x - 1)가 인수인지 판단하세요.

문제 3

P(x) = 3x² - 5x + 2 에 대해 P(1)의 값을 구하고, (x - 1)가 인수인지 판단하세요.

✅ 정답 풀이

문제 1
(x + 2)는 (x - (-2))이므로, P(-2)를 구합니다.
P(-2) = 2×(-2)² + 3×(-2) - 1 = 8 - 6 - 1 = 1
👉 정답: 나머지는 1

문제 2
P(1) = 1³ - 2×1² - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0
👉 정답: (x - 1)는 인수이다

문제 3
P(1) = 3×1² - 5×1 + 2 = 3 - 5 + 2 = 0
👉 정답: P(1) = 0 → (x - 1)는 인수이다

💡 친절샘의 꿀팁 정리

(x - a)로 나눈 나머지가 궁금하면 **P(a)**를 계산하세요.
P(a) = 0 이 나오면 그건 곧 (x - a)는 인수!
인수 정리는 곱셈공식과 연결되는 인수분해 문제에 자주 활용돼요.
복잡한 다항식을 만났을 때도, 나머지정리와 인수정리만 기억하면 단서가 보여요!