삼각형 속 숨은 비밀!

내접원과 삼각형 둘레, 넓이의 관계를 파헤쳐보자!

안녕하세요! 여러분의 든든한 수학 도우미, 친절샘입니다!
오늘도 신나는 수학 여행을 떠나볼까요?
목적지는 바로 삼각형 나라, 거기서 우리가 찾아야 할 건 바로 내접원이라는 보물이에요!
탐험 준비됐나요? 출발! 🚀

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1. 삼각형의 내접원이 뭐예요?

자, 삼각형 안에 딱 맞게 들어앉은 작은 원을 본 적 있나요?
그 원이 바로 내접원이에요!
내접원이란, 삼각형 안에서 세 변에 모두 접하는 원이에요.
"나는 절대 한쪽만 사랑하지 않아! 세 변 모두와 친구가 될 거야!" 하는 원이죠. 😎

🎯 내접원의 중심은 어디일까요?

바로 내심이에요!
내심은 삼각형 세 각의 이등분선이 만나는 점이랍니다.
이 내심을 중심으로 내접원이 쏙 들어가는 거예요!
(마치 수학계의 평화주의자 같네요. 누구와도 적을 두지 않는!)

2. 내접원의 반지름과 삼각형 넓이

내접원이 들어간 삼각형은 뭔가 더 신비롭죠?
그런데 이 내접원의 반지름이 삼각형의 넓이와 아주 깊은 관계가 있다는 사실!
삼각형 넓이 S, 둘레의 **반절(반둘레라고도 부릅니다)**을 s라고 하면,
(반둘레 s = (a + b + c) ÷ 2, 여기서 a, b, c는 삼각형의 세 변의 길이에요.)

내접원의 반지름 r은
r = S ÷ s
라는 공식으로 쉽게 구할 수 있어요!

어때요? 신기하죠?
삼각형 넓이와 둘레의 비율이 내접원의 반지름을 정한다니!
(수학이 이렇게 로맨틱할 줄이야~)

3. 삼각형의 둘레와 내접원의 관계

삼각형을 둘러싼 선들의 총 길이가 바로 둘레에요!
a + b + c = 삼각형 둘레!
이 둘레가 크면 클수록 삼각형이 더 넓어질 수 있겠죠?
그런데 반대로 내접원의 반지름이 작아질 수도 있어요!
왜냐하면 삼각형이 길쭉하게 찌그러지면, 내접원이 들어갈 공간이 좁아지니까요.
정삼각형일 때가 내접원이 가장 뚱뚱(?)하게 들어가는 순간이에요!
균형 잡힌 모습이 제일 예쁘니까요 😊

4. 내접원의 넓이는?

원도형에 빠질 수 없는 넓이 공식!
내접원의 넓이는
πr²
내접원의 반지름 r만 알면, 바로 넓이 계산 끝!
그래서 위에서 배운 r = S ÷ s를 기억하고 있으면 더 쉽게 계산할 수 있어요!

예를 들어,
삼각형 넓이 S = 30㎠, 반둘레 s = 12cm라면,
내접원의 반지름 r = 30 ÷ 12 = 2.5cm
그럼 내접원의 넓이는?
π × (2.5)² = π × 6.25 = 6.25π ㎠
(어때요? 어렵지 않죠? 친절샘과 함께면 뚝딱!)

5. 삼각형 넓이를 내접원을 이용해 구할 수 있을까?

가능해요!
사실 위에서 쓴 공식을 거꾸로 보면 돼요!
삼각형 넓이 S = r × s
내접원의 반지름과 삼각형의 반둘레를 알면, 넓이 계산도 쉽게 해결!

예를 들어,
반지름 r = 4cm, 반둘레 s = 10cm라면
넓이 S = 4 × 10 = 40㎠

6. 친절샘과 함께 문제 한 판!

다음 삼각형이 있다고 해요!
세 변의 길이 a = 7cm, b = 8cm, c = 9cm
그럼 반둘레 s는?
(7 + 8 + 9) ÷ 2 = 12cm

그리고 넓이 S는 헤론의 공식을 쓰면,
√[12 × (12 - 7) × (12 - 8) × (12 - 9)]
= √[12 × 5 × 4 × 3]
= √720
대략 26.83㎠ (소수 둘째 자리까지!)

그럼 내접원의 반지름 r = S ÷ s
= 26.83 ÷ 12
= 약 2.24cm

내접원의 넓이도 구해볼까요?
π × (2.24)² ≈ 3.14 × 5.02 ≈ 15.76㎠
(친절샘과 함께니까 계산도 신나요!)

7. 친절샘의 마무리 꿀팁!

✅ 내접원은 삼각형의 세 변에 모두 접하는 원이다!
✅ 내접원의 중심은 각의 이등분선이 만나는 점이다!
✅ 내접원의 반지름은 넓이 ÷ 반둘레로 구한다!
✅ 삼각형 넓이도 r × s로 간편하게!
✅ 정삼각형이 내접원이 가장 빵빵(?)하게 들어가는 삼각형이다!