이차함수의 최대값과 최소값
🌈 이차함수의 최대값과 최소값, 이렇게 쉽다! 🌈
- 친절샘과 함께하는 완전 친절한 설명편! -
안녕하세요, 여러분!
오늘도 친절하고 유쾌한 수학 여행을 떠나는 친절샘 정이에요! ✨
오늘은 바로바로!
📌 이차함수의 최대값과 최소값을 알아볼 거예요.
이걸 모르면 시험에서 '감점 폭탄' 맞는다는 거… 다들 아시죠? 😱
그러니 오늘은 꼭 끝까지! 친절샘과 함께 가보자고요! 🙌
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1. 최대값과 최소값이 뭐예요?
먼저, 여러분!
최대값이랑 최소값이 뭔지부터 확실하게 짚고 넘어가요!
- 최대값은 가장 높은 값!
- 최소값은 가장 낮은 값!
간단하죠?
그런데 이걸 이차함수 그래프에서 찾으라고 하면
“엥? 어디를 봐야 하지?👀” 하게 돼요.
자! 그럴 땐 포물선의 모양과 꼭짓점만 기억하면 돼요!
친절샘이랑 차근차근 살펴볼게요.
2. 이차함수 그래프를 먼저 이해하자!
이차함수 그래프는 기본적으로 **포물선(∪ 또는 ∩)**입니다.
- y = ax² + bx + c
여기서 a가 포인트예요!
✔️ a가 양수면
- 포물선이 위로 활짝 웃는 ∪ 모양!
- 꼭짓점이 가장 아래에 있어요.
👉 이때 꼭짓점이 최소값이에요.
👉 최대값은 없어요! (끝없이 위로 뻗으니까!)
✔️ a가 음수면
- 포물선이 아래로 쳐진 ∩ 모양!
- 꼭짓점이 가장 위에 있어요.
👉 이때 꼭짓점이 최대값이에요.
👉 최소값은 없어요! (끝없이 아래로 뻗으니까!)
친절샘의 꿀팁!
👉 "웃는 포물선은 최저점만 있고,
👉 우는 포물선은 최고점만 있다!"
3. 꼭짓점이 바로 최대값 또는 최소값이다!
이제 눈치 챘죠?
✔️ 꼭짓점이 이차함수 그래프의 최대값 혹은 최소값이라는 사실!
그럼 꼭짓점의 좌표를 어떻게 구할까요?
📍 꼭짓점의 x좌표는
👉 x = -b / 2a
📍 그리고 y값을 구하려면
👉 y = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c
이렇게 계산하면 돼요!
귀찮다구요? 😅 친절샘이 예제로 설명할게요!
4. 친절샘의 친절한 예제 🌟
예제 1
함수 y = 2x² - 4x + 1 의 최대값 또는 최소값을 구해봐요!
1️⃣ a = 2 ➡️ 양수니까 포물선이 ∪ (웃어요!)
2️⃣ 그러면 꼭짓점이 최소값이 되겠네요!
3️⃣ 꼭짓점 x = -(-4) / 2(2) = 4 / 4 = 1
4️⃣ x = 1일 때 y는
👉 y = 2(1)² - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
➡️ 최소값은 -1!
✨ 결론!
최소값은 -1이고, 최대값은 없어요!
예제 2
함수 y = -x² + 6x - 5 의 최대값 또는 최소값을 구해봐요!
1️⃣ a = -1 ➡️ 음수니까 포물선이 ∩ (울어요!)
2️⃣ 그러면 꼭짓점이 최대값이에요!
3️⃣ 꼭짓점 x = -6 / 2(-1) = -6 / -2 = 3
4️⃣ x = 3일 때 y는
👉 y = -(3)² + 6(3) - 5
👉 = -9 + 18 - 5
👉 = 4
➡️ 최대값은 4!
✨ 결론!
최대값은 4이고, 최소값은 없어요!
5. 꼭짓점만 알면 인생이 편해진다?!
맞아요! 꼭짓점만 알면
최대값, 최소값은 자동으로 따라온답니다.
그러니까 -b/2a, 꼭 암기!
시험에 진짜진짜 잘 나와요!
6. 친절샘이 전하는 비법 정리 📝
| a > 0 (양수) | ∪ | 최소값 | 꼭짓점 y값 |
| a < 0 (음수) | ∩ | 최대값 | 꼭짓점 y값 |
그리고 y절편은 c 값이라는 것도 잊지 마세요!
7. 실생활에서는 어떻게 쓰일까?
이차함수 최대값, 최소값은 높이, 거리, 시간 같은 문제에서 자주 나와요!
예를 들어 공을 던졌을 때 최고 높이는?
바로 최대값을 찾는 문제죠!
그래서 이걸 알면 수학도 꿀팁,
과학도 꿀팁,
일상생활도 편해진다!