근의 공식과 유도, 짝수 공식!

친절샘 정과 함께라면 이차방정식도 문제없다!

🌟 안녕하세요! 친절샘 정입니다!

"근의 공식" 하면 무조건 외워야 하는 무서운 공식으로 알고 있는 친구들 많죠?
하지만! 알고 보면 엄청 똑똑하게 만든 공식이고, 심지어 누구나 직접 만들 수 있다는 사실!
오늘은 근의 공식이 어떻게 만들어졌는지(유도!), 그리고 더 편리한 짝수 공식까지 쉽고 재미있게 배워볼 거예요!
준비되셨나요? 자, 출발~~~ 🚀

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1️⃣ 근의 공식이 뭐예요?

먼저, 근의 공식부터 소개할게요!
모양은 이렇게 생겼습니다.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

어머! 너무 복잡하다고요?
괜찮아요! 이걸 사용하면 어떤 이차방정식도 쉽게 풀 수 있어요.
어떤 식이든 ax² + bx + c = 0 꼴이면 바로 사용 가능!
이건 수학계의 만능키 🔑 랍니다!

2️⃣ 근의 공식은 어떻게 만들어졌을까? (유도 과정!)

수학은 외우는 게 아니라 이해하는 거라고 했죠?
근의 공식은 완전제곱식으로부터 만들어졌어요!
그럼 하나하나 따라가 봅시다! 🧐

일반형 이차방정식 쓰기
ax² + bx + c = 0
양변을 a로 나누기
x² + (b/a)x + (c/a) = 0
완전제곱식 만들기!
좌변의 x² + (b/a)x 를 완전제곱식으로 바꿔볼게요!
(x + b/2a)² = x² + (b/a)x + (b² / 4a²)
그런데 우리는 c/a 도 있어요.
양변에 b² / 4a² 를 더하고 빼서 맞춰줍니다!
(x + b/2a)² = -c/a + b² / 4a²
= (b² - 4ac) / 4a²
양변 루트 씌우기!
x + b/2a = ± √(b² - 4ac) / 2a
x에 대해 정리!
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

짜잔~! 바로 이게 근의 공식이에요!
처음엔 복잡해 보여도 이렇게 천천히 따라가면 다 이해돼요! 😊

3️⃣ 판별식이 뭐죠? (b² - 4ac)

근의 공식 속 √(b² - 4ac)
이걸 뭐라고 하냐면 판별식이라고 불러요!
왜? 이 값에 따라 방정식이 어떤 근을 가지는지 판단할 수 있으니까요!

b² - 4ac > 0 → 서로 다른 두 실근
b² - 4ac = 0 → 중근 (두 근이 같아요)
b² - 4ac < 0 → 허근 (실수 해가 없다!)

그래서 판별식을 보고 빠르게 근의 상태를 알 수 있답니다.
판별식만 잘 봐도 반은 푼 셈이에요! 😉

4️⃣ 근의 공식의 특별판! 짝수 공식!

친절샘 정이 전하는 비밀 병기!
어떤 때는 근의 공식이 너무 복잡해 보여요.
그럴 땐 짝수 공식을 써보세요!
만약 b가 짝수라면 더 쉽고 빠르게 풀 수 있거든요!

짝수 공식은 이렇게!

기본 방정식: ax² + bx + c = 0
b가 짝수니까, b = 2p라고 생각해요!
그럼 공식은 이렇게 변신!
x = (-p ± √(p² - ac)) / a

예시로 보여줄게요!

방정식: x² - 8x + 7 = 0
여기서 b = -8 → 짝수니까 p = -4
공식에 넣어볼까요?
x = (-(-4) ± √((-4)² - 1×7)) / 1
= (4 ± √(16 - 7)) / 1
= (4 ± √9) / 1
= 4 + 3 = 7, 4 - 3 = 1
따라서 해는 x = 7 또는 x = 1

어때요? 훨씬 간단하죠?
짝수 공식은 실전에서 시간 단축 효과가 짱이에요! ⏰

5️⃣ 친절샘 정의 꿀팁!

👉 근의 공식을 외울 때, 판별식을 이해하고 외우면 덜 헷갈려요!
👉 짝수 공식은 암기보다 p 값만 빠르게 생각하면 훨씬 쉽다!
👉 판별식부터 보고 해가 몇 개인지, 실근인지 허근인지 판단하면 문제 푸는 시간 절약 가능!

✅ 오늘의 정리

오늘 배운 것!

근의 공식은 완전제곱식으로부터 유도된다!
판별식은 근의 상태를 판단하는 도구!
짝수 공식은 b가 짝수일 때 더 빠르고 간단하다!