🎲 닮은 입체도형의 겉넓이와 부피 비율 대탐험!

- 닮았다고 다 같은 건 아니야! 크기가 커지면 차원이 다르다고?

안녕하세요!
여러분의 수학 모험 파트너, 찬우 선생님입니다! 🙌
오늘은 평면도형을 넘어 입체도형의 세계로 모험을 떠날 거예요!
닮은 입체도형은 크기만 다를 뿐 모양은 똑같은 친구들이지만…
그 안에 숨겨진 겉넓이의 비와 부피의 비를 아는 순간!
여러분은 수학의 차원을 뛰어넘는 진정한 탐험가가 될 거랍니다! 😎

그럼 찬우 탐험대, 3D 세계로 출발! 🚀

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1️⃣ 닮은 도형, 다시 한 번 짚어보자!

✔️ 닮은 도형은 대응하는 각이 같고,
✔️ 대응하는 변의 길이 비율이 일정한 도형이에요!
2D 평면에서는 닮음비만 생각하면 끝났지만,
입체도형에서는 얘기가 달라집니다!
찬우가 말합니다:

“3차원의 세계에서는 길이, 넓이, 부피가 각각 다른 차원의 법칙을 따라가요!” 🚦

2️⃣ 닮은 입체도형의 겉넓이 비는?

입체도형의 겉넓이는 2차원적인 값이에요!
그래서!
✔️ 닮음비가 a:b 라면,
✔️ 겉넓이의 비는 a² : b² 가 됩니다!
찬우가 설명합니다:

“겉넓이니까 면적! 면적은 길이의 제곱을 따라간다고요!”
예를 들어,
닮음비가 2:3이면 겉넓이 비는 2²:3² = 4:9!
작은 큐브를 크게 만들면 면적이 훨씬 더 많이 커지는 이유죠! 🎁

3️⃣ 닮은 입체도형의 부피 비는?

이제 진짜 3차원의 이야기를 해볼게요!
부피는 공간을 차지하는 크기니까 길이의 세제곱과 관련 있습니다!
✔️ 닮음비가 a:b 라면,
✔️ 부피의 비는 a³ : b³ 가 돼요!
찬우가 강조합니다:

“부피는 3D! 그래서 닮음비의 세제곱을 따라간다구요!”
예를 들어, 닮음비가 2:3이면
부피 비는 2³ : 3³ = 8:27!
찬우가 덧붙입니다:
“이건 진짜 차원이 다른 크기입니다! 큰 피자가 엄청 이득이 되는 이유와 같아요!” 🍕

4️⃣ 왜 이렇게 다를까?

📏 길이는 1차원 → 닮음비 a:b
📐 넓이는 2차원 → 닮음비의 제곱 a²:b²
📦 부피는 3차원 → 닮음비의 세제곱 a³:b³
찬우가 설명합니다:

“차원이 하나씩 늘어날 때마다 비율도 하나씩 더 곱해지는 거예요! 이게 바로 수학의 차원 법칙!” 😄

5️⃣ 찬우의 쉽고 재미있는 예시!

찬우 탐험대가 큐브 나라에 놀러 갔어요!
작은 큐브와 큰 큐브가 닮은꼴이라고 합시다!
✔️ 닮음비가 1:3
👉 겉넓이 비는?
→ 1²:3² = 1:9
👉 부피 비는?
→ 1³:3³ = 1:27
찬우가 말합니다:

“작은 큐브가 1개 들어가는 크기에 큰 큐브는 27배나 크다구요!” 🎲

6️⃣ 실생활에선 어떻게 쓰일까?

이 법칙들은 우리 일상 곳곳에서 활약합니다!
✔️ 건축 설계
모형 건물에서 실제 건물로 스케일업할 때 겉넓이와 부피를 다르게 계산해야 하죠!
✔️ 항아리, 병 디자인
크기를 늘리면 부피는 훨씬 많이 커지니까 재료도 많이 필요해요!
✔️ 자동차 디자인
겉넓이는 도장면적! 부피는 내부 공간!
찬우가 덧붙입니다:

"모델카 만들 땐 그냥 닮음비만 생각하면 안 돼요! 차원이 다르니까!" 🚗

7️⃣ 찬우 탐험단 퀴즈 타임! 🎯

✅ Q1. 닮은 입체도형의 겉넓이 비는 무엇에 따라 결정될까요?

✔️ 정답: 닮음비의 제곱!

✅ Q2. 닮은 입체도형의 부피 비는?

✔️ 정답: 닮음비의 세제곱!

✅ Q3. 닮음비가 2:5라면 부피 비는?

✔️ 정답: 2³:5³ → 8:125!

찬우가 외칩니다:

"이제 닮은 입체도형의 겉넓이와 부피 비율은 완벽하게 마스터!" 🏆

8️⃣ 오늘의 탐험 정리! ✍️

📌 닮은 입체도형의 겉넓이 비는 닮음비의 제곱이다!
📌 닮은 입체도형의 부피 비는 닮음비의 세제곱이다!
📌 길이, 넓이, 부피가 각각 차원이 다르기 때문에 비율이 다르다!
📌 실생활에서도 꼭 알아야 하는 비율 공식!