각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피 - 중학교 1학년 수학 (입체도형)
1️⃣ 찬우, 뾰족이 왕국에 초대받다! 🏰
수학의 세계를 누비는 찬우가 이번엔 ‘뾰족이 왕국’에 도착했어요.
어디를 봐도 꼭대기가 뾰족뾰족!
"우와! 여긴 뭐든 뾰족하네?"
왕국의 뾰족이 왕이 말합니다.
"어서 오너라, 찬우! 오늘은 각뿔과 원뿔의 겉과 속, 그러니까 겉넓이와 부피를 배워야 한다!"
찬우가 신나게 외칩니다.
"네! 뾰족이들의 비밀을 하나씩 밝혀볼게요!" 😆
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2️⃣ 각뿔과 원뿔, 누구세요? 🤔
찬우가 유심히 살펴봅니다.
"뾰족한 건 알겠는데, 뭐가 다를까?"
✅ 각뿔(Pyramid)이란?
✔️ 밑면이 다각형!
✔️ 꼭대기는 하나, 그리고 옆면은 전부 삼각형!
👉 예시: 삼각뿔, 사각뿔, 오각뿔!
찬우가 말합니다.
"이집트 피라미드도 사각뿔이었네!" 🏜️
✅ 원뿔(Cone)이란?
✔️ 밑면이 원!
✔️ 뾰족한 꼭짓점이 있고, 옆면은 매끈하게 둥글어요!
찬우가 외칩니다.
"아이스크림 콘이 바로 원뿔이구나!" 🍦
3️⃣ 각뿔과 원뿔의 겉넓이! 📏
찬우가 궁금해졌어요.
"이 뾰족이 친구들의 피부 면적(?)은 얼마나 될까?"
✅ 겉넓이란?
✔️ 도형의 겉면 전체 넓이!
✔️ 선물 포장지로 감싼다고 생각하면 더 쉽다! 🎁
찬우가 말합니다.
"피라미드를 랩으로 싸야 한다면? 겉넓이를 알아야겠네!"
✅ 각뿔의 겉넓이 공식
✔️ 겉넓이 = 밑면 넓이 + 옆면 넓이의 합
👉 옆면은 전부 삼각형이라서, 각각 넓이를 더해주면 OK!
🔎 예시: 사각뿔
- 밑면 넓이 = 가로 × 세로
- 옆면 삼각형 4개 넓이 = (밑변 × 높이) ÷ 2 네 번 더하기!
찬우가 말합니다.
"전개도를 그리면 더 이해가 쉬워요!" ✂️
✅ 원뿔의 겉넓이 공식
✔️ 겉넓이 = 밑면 넓이 + 옆면 넓이
✔️ 밑면 넓이 = πr²
✔️ 옆면 넓이 = πrℓ
👉 여기서 ℓ은 모선의 길이! (꼭짓점에서 밑면까지의 거리)
🔎 예시: 반지름 5cm, 모선 10cm 원뿔
- 밑면 넓이 = 3.14 × 5² = 78.5cm²
- 옆면 넓이 = 3.14 × 5 × 10 = 157cm²
👉 겉넓이 = 78.5 + 157 = 235.5cm²
찬우가 외칩니다.
"이건 원기둥보다 조금 더 신경 써야 하네!" 😎
4️⃣ 각뿔과 원뿔의 부피! 🧮
"이제 속도 꽉 채워봐야지!"라고 찬우가 외칩니다!
✅ 부피란?
✔️ 도형 안에 들어가는 공간의 크기
✔️ 쉽게 말하면, 안에 물을 가득 채운다면 얼마나 들어갈까?
찬우가 말합니다.
"콜라를 가득 넣는다면 부피가 필요하지!" 🥤
✅ 각뿔의 부피 공식
✔️ 부피 = 밑면 넓이 × 높이 ÷ 3
👉 삼각뿔, 사각뿔, 어떤 각뿔이든 밑면과 높이를 알면 쉽게 계산!
🔎 예시: 사각뿔
- 밑면 넓이 = 가로 × 세로 = 4cm × 4cm = 16cm²
- 높이 = 9cm
👉 부피 = 16 × 9 ÷ 3 = 48cm³
찬우가 외칩니다.
"삼각뿔이든 사각뿔이든 ÷ 3만 잊지 않으면 OK!" 😆
✅ 원뿔의 부피 공식
✔️ 부피 = 밑면 넓이(πr²) × 높이 ÷ 3
🔎 예시: 반지름 3cm, 높이 12cm 원뿔
- 밑면 넓이 = 3.14 × 3² = 28.26cm²
- 부피 = 28.26 × 12 ÷ 3 = 113.04cm³
찬우가 말합니다.
"원기둥의 부피에서 ÷ 3 하면 원뿔의 부피!" 🥳
5️⃣ 왜 부피는 ÷ 3일까? ❓
찬우가 수학 왕에게 묻습니다.
"왜 나누기 3을 하는 거예요?"
왕이 말합니다.
"각뿔과 원뿔은 같은 밑면과 높이를 가진 기둥의 1/3 공간을 차지하니까!"
찬우가 깜짝!
"와, 원기둥에 콜라 3캔을 채우면 원뿔 1캔만큼이네!" 🥤
6️⃣ 실생활 속 각뿔과 원뿔 찾기! 🔎
찬우가 주변을 살펴봅니다.
✔️ 각뿔 → 피라미드, 텐트, 오각형 탑!
✔️ 원뿔 → 아이스크림 콘, 트래픽 콘, 생일모자!
찬우가 외칩니다.
"내가 매일 보는 것들이 다 각뿔과 원뿔이었네!" 🏕️🎉
7️⃣ 찬우 탐정단! 겉넓이와 부피 퀴즈 풀기! 🕵️♂️
🙋♂️ 도전! 아래 문제를 풀어보세요!
✅ 문제 1
밑면 넓이 25cm², 높이 9cm인 사각뿔의 부피는?
👉 정답: 25 × 9 ÷ 3 = 75cm³
✅ 문제 2
반지름 4cm, 모선 10cm인 원뿔의 겉넓이는?
👉 밑면 넓이: 3.14 × 4² = 50.24cm²
👉 옆면 넓이: 3.14 × 4 × 10 = 125.6cm²
👉 정답: 50.24 + 125.6 = 175.84cm²
✅ 문제 3
원뿔의 부피를 구하는 공식은?
👉 정답: πr² × 높이 ÷ 3
찬우가 외칩니다!
"이제 뾰족이 왕국의 겉과 속은 완벽하게 정복했어!" 🏅
🔟 오늘의 정리! 🎯
✔️ 각뿔의 겉넓이 = 밑면 넓이 + 옆면 넓이 합
✔️ 원뿔의 겉넓이 = πr² + πrℓ
✔️ 각뿔의 부피 = 밑면 넓이 × 높이 ÷ 3
✔️ 원뿔의 부피 = πr² × 높이 ÷ 3